Calcul de la dérivée d'un quotient de polynômes - Exemple 1

On souhaite déterminer les fonctions dérivées des fonctions définies sur  `]2;+\infty[` par

1.  `f(x)=\frac{x+3}{x-2}`  

2.    `g(x)=\frac{3x^3-5x+1}{x-2}`

1. La fonction  `f`  est du type  `u/v` avec :  `\color{green}{u(x)=x+3}`  et `\color{red}{v(x)=x-2}` . 

Or  `u`  et `v`  sont des fonctions dérivables et `v`  est non nulle sur  `]2;+\infty[` . 

On a `\color{green}{u'(x)=1}`  et `\color{red}{v'(x)=1}` . Alors, pour tout  `x\in`   `]2;+\infty[` ,  `f'(x)=\frac{\color{green}{1}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(x+3)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}` .

C'est-à-dire,  `f'(x)=\frac{x-2-x-3}{(x-2)^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}` . 

2. La fonction  `g`  est du type  `u/v` avec :  `\color{green}{u(x)=3x^3-5x+1}`  et `\color{red}{v(x)=x-2}` . 

Or  `u`  et `v`  sont des fonctions dérivables et `v`  est non nulle sur  `]2;+\infty[` . 

On a  `\color{green}{u'(x)=9x^2-5}`  et `\color{red}{v'(x)=1}` . Alors, pour tout  `x\in`   `]2;+\infty[` ,  `g'(x)=\frac{\color{green}{(9x^2-5)}\times\color{red}{(x-2)}-\color{green}{(3x^3-5x+1)}\times \color{red}{1}}{(\color{red}{x-2})^2}` .

C'est-à-dire,  `g'(x)=\frac{9x^3-18x^2-5x+10-3x^3+5x-1}{(x-2)^2}=\frac{6x^3-18x^2+9}{(x-2)^2}` .